単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。 gm = -20log(10,|G(jω)H(jω)|) 参考URL:http://my1.interlink.or.jp/~md0858/series4/densi0613.html, [図6.1-41]を見てください。 >原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか? (もし、yからRに向かうフィードバックがあれば、そこでの一巡伝達関数にはもちろん、A,B,C,D,Eすべて関係してきます。), 制御理論に関しての質問です。    G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2) (フィードバックをかけていないときの利得ー周波数特性) R   |        |  | 一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか? 例えば80dB(60...続きを読む, ブロック線図の簡略化について。 ・ロールオフ [参考ページ] 例えばL(s)=1/((s+1)s^2)は2型の制御系です。 本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか? これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、 ・最小位相系 ということで、不安定零点をもたないシステムを最小位相系と呼んでます。 安定なシステムで、かつ、不安定な零点をもたないシステムのことを言います。ゲイン線図が全く同じG1(不安定零点なし)とG2(不安定零点あり)という二つの伝達関数があるとします。このとき、ゲイン特性が全く同じでも、不安定零点をもつG2の方が、周波数による位相の推移(変化)が大きいんです。 >gm = -20log(10,|G(jω)H(jω)|) 教科書を見ても、説明が少なすぎて意味がわかりません。。。, あなたが制御工学専攻なのか、一般人なのかで説明が変わってきます。 また、Lを下げれば、Tを下げることができることがわかるかと思います。 一方、位相余裕は「あとどれだけ位相を遅らせられるか」と教科書にあるのですが、これがよくわかりません。位相を遅らせたい、という動機がそもそもよくわかりません。位相を遅らせることによってどんなメリットがあるのか、どういうときに遅らせたいと思うのか、教えて下さい。, 再登場です。いろいろと詳しく述べるとめちゃめちゃ長くなるので、必要な部分に関連したことだけ詳しく述べますね。ということで、色々省いちゃってるので、わからなかったらおっしゃってください☆ ゲインの傾きが-40[dB/dec]ならば(1/s^2)、位相は-180[deg]で遅れてしまいます。 前回の回答の関係からいうと、 求められます。 これを整理して伝達関数 (-y)/D(s) を求める。 たとえば そうです。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 よくみると目標値入力rから制御量yまでの伝達関数と一緒ですよね。 u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0(定常値)になる時間は ゲインが負の傾き→位相が遅れる 安定なシステムで、かつ、不安定な零点をもたないシステムのことを言います。ゲイン線図が全く同じG1(不安定零点なし)とG2(不安定零点あり)という二つの伝達関数があるとします。このとき、ゲイン特性が全く同じでも、不安定零点をもつG2の方が、周波数による位相の推移(変化)が大きいんです...続きを読む, オペアンプの閉ループゲイン、開ループゲインとはそもそも何なのでしょうか? 一巡伝達関数の大きさが1(0[dB])になるときの周波数です。 そして重要なのは、この最小位相系では、「gainからphaseがユニークに決まる」のです(bodeさんが証明してくれてます)。 図の意味は入力RがAとBに分かれて、また合わさり、外乱dが入ってきてEから来たフィードバックと合わさり、Cに入り、Eの方にフィードバックし、Dに入り、出力されるといった意味です。 前の回答の関係からいうと 「交差周波数」は、電子回路の場合なら(低域フィルタの)カットオフ周波数(3dBダウン点)に相当します。 ・ゲイン交差周波数 閉ループ制御系: (負帰還を使わない制御系) サーボ系でも同様です。参考...続きを読む, 計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。 またもっと複雑な制御系の場合だと、どうなるのかすらもわかりません。                  |         |  >速応性: ゲイン交差角周波数が大きい(バンド幅が大きい)ほど良いが、大きすぎると外乱の影響も大きくなる。, >サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。 開ループ制御系: ・制御系の型 ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか? 閉ループ伝達関数の極は特性多項式をF(s) と して、特性方程式 F(s)=0 の根のことである。 閉ループ伝達関数の全ての極の実部が負であ る(全ての極が複素平面の左半面にある)なら ば、フィードバック制御系は安定である。   arg(G*H) = -arg{s(s+1)^2}|_s = jω 例)開ループ暖房装置: このページでは、閉ループ伝達関数・開ループ伝達関数・一巡伝達関数の意味と違い、そしてそれぞれの使い方について解説します。※伝達関数の基本を未学習の方は、まずこちらの記事をご覧ください。 また何かあればよろしくお願いします!, 「とは 関数」に関するQ&A: ある範囲のセルから任意の値を検索して、その隣のセルの値を取得するという関数はありますか?, 「関数」に関するQ&A: ExcelのVlookup関数で一致した文字のセルの番地を取得する方法, 制御工学に関する研究室に配属になったのですが、企業に就職してから役に立つのか!?ぶっちゃけな意見ください!, 教科書の定義がよく分かりません。 サーボ系でも同様です。参考ページの 2/4 ページの図2 や、そのコメントをご覧ください。 ということは、 それに関係しているのが感度関数です。感度関数が低ければ、外乱が抑制でき、定常特性にも長け、パラメータ変動にも強くなります。 レポート課題で困っています。調べてみたが良くわかりませんでした。, 制御の基本は、P(比例)動作ですが、P動作だけでは通常オフセット(目標値との残留偏差)が生じます。このため、P動作のオフセットを無くすため、I(積分)動作を加え、設定値との偏差をなくすようにします。また、D動作を加えることにより、偏差を単時間に修正することができますが、積分時間を短く設定しすぎると、ハンチングが起きやすく、安定した制御が得られなくなります。D(微分)動作は、偏差の少ないうちに大きな修正動作を加え、制御結果が大きく変動するのを防ぐことができるます。ただし、微分時間を長く設定しすぎると、小さな変化に対しても、大きな出力が出てしまう為、ハンチングが生じ、制御性が安定しなくなります。 上記の場合、一見開ループ伝達関数と同じ形になりますが、以下の様な場合は一巡伝達関数と開ループ伝達関数とは異なるのが解ります。 一巡伝達関数の用途は、フィードバック含めた系が安定しているか否かを判別するのに用いたりします。  {1 + G(s)C(s)}(-y) = -G(s)D(s) ----------B---------------C------------D-----------y ----------B---------------C------------D-----------y もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。 これに対して 原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?, >この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか? 全くしっくり来ません。  {C(s)(-y) + D(s)}*G(s) = y こんな感じでしょうか。。これで前の回答ある程度わかりますか…? 我ながらわかりにくい文章です^^; 何かわからない箇所があればおっしゃってください。, 再登場です。いろいろと詳しく述べるとめちゃめちゃ長くなるので、必要な部分に関連したことだけ詳しく述べますね。ということで、色々省いちゃってるので、わからなかったらおっしゃってください☆ 詳しくは、以下のURLを参照のこと。 教科書なんかで上でいったような項目をみてみると、最終的に、一巡伝達関数をLとしますと、1/(1+L)といった関数が導かれているかと思います。これが感度関数(sensitivity function)です。 ・最小位相系 ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。, 「とは 関数」に関するQ&A: エクセルのSAM関数の「SAM」とは何かの略語なのでしょうか?, ありがとうございます! 理論上、 温度を一定に保つため、センサーで検出した室温を設定した温度より高くなりすぎたら、冷房し、設定温度より低くなりすぎたら暖房するようにして室温をコントロールする空調機の制御系。 やっぱり教科書の定義が正しいのですね。インターネットを見ているとほとんどが間違っているので困りますね… 例えば80dB(60dB)のフィドバックをかけたとすると、利得は20dB(40dB)になりますが、利得一定の周波数幅がうんと広くなることにお気づきでしょうか? 帰還ループの特性. 例)自動温度コントロール空調機 「交差周波数」は、電子回路の場合なら(低域フィルタの)カットオフ周波数(3dBダウン点)に相当します。 おそらく教科書なんかに、フィードバック系における「制御対象の特性変動による影響」とか「外乱による出力への影響」とか「目標値入力に対する偏差」なんかは書かれているかと思います。 これが開(オープン)ループゲインです。(青色) フィードバック系で ふつう使う dB 表示なら、下の式です。, サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。 (ω^2-4)/{4ω^2+(ω^2-4)^2} = 0 全くしっくり来ません。 自動車に閉ループ系制御系を導入したら、ダイヤルで60km/hのメモリに設定したら、制御系が勝手にアクセルとブレーキを適当に使って一定速度で走ってくれるかも。でもとっさの事態に対応できないかも。。。, あなたが制御工学専攻なのか、一般人なのかで説明が変わってきます。 型によって目標値に対する定常特性が決まります。 制御工学において、閉ループ制御系と開ループ制御系はどういう意味でしょうか!? です。 過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は 一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。 のどちらが正しいのでしょうか。自然対数なのか、底が10の対数なのか、分かりません。, >位相交差角周波数は周波数応答関数の虚部が0になる点で合っていますでしょうか。 なので、2*atan(ω) = (π/2) になるωだと思います。  = -(π/2) - 2*atan(ω)                  |         |  このページでは、伝達関数の定義と利点について、具体例を挙げながら解説します。また、入力・出力の初期値を0と考えていい理由についても解説します。このページのまとめ伝達関数は、ラプラス変換の結果得られる、システムの入出力特性... 数式が画面からはみ出している場合は、式を横スクロールするか、横持ちしてご覧ください. >gm = -20ln|G(jω)H(jω)| 「ゲインは入出力の比の値である」のは電子回路と同様です。 周波数応答関数 G(jω)H(jω) = (-1/ω)*[2ωK/{4ω^2+(ω^2-4)^2}-K(ω^2-4)j/{4ω^2+(ω^2-4)^2}] で合っていますでしょうか。 70Hzくらいまでは100dBの利得がありますが、より高い周波数では-6dB/oct(=-20dB/decade)でどんどん下がっていき、7MHzくらいで0dBとなります。 お客様の許可なしに外部サービスに投稿することはございませんのでご安心ください。, ある範囲のセルから任意の値を検索して、その隣のセルの値を取得するという関数はありますか?, 周波数伝達関数の問題です。画像における回路で、自分で解いてみたら、周波数伝達関数がG(jω)=jωC, 2次遅れ形伝達関数の評価方法を教えてください。 伝達関数(連続系)の安定性評価方法として、 極の実数, 下の図の伝達関数の求め方が分からないです。 I(s)/v(s)=1/r+sc+r であっているのでし, ブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の. r,d,yはそれぞれ、入力、出力、外乱 位相交差角周波数の定義は、「位相が -180 度になるときの角周波数」がふつうみたいです。     |------A----| |d たとえば低域フィルタのカットオフ周波数を2倍にすれば、ステップ波形を入力したときの応答波形が2倍に速くなりますね。 周波数特性が問題にならないコンパレータのときくらいのものです。 一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数 •開ループ伝達関数の一般形 •分母の積分要素sの次数lによって分類 •l=0の場合0形の制御系 •l=1の場合1形の制御系 •l=2の場合2形の制御系 13 開ループ伝達関数の分類 Classification of … フィードバック系で この周波数での一巡伝達関数の位相をもとに、位相余裕を算出しますよね。 一巡伝達関数Lに含まれている積分器の数がn個あったとします。 例示された場合なら、 伝達関数の違い i) 目標値に対する伝達関数(開ループ) ii) 目標値に対する伝達関数(閉ループ) iii) 外乱に対する伝達関数(開ループ) iv) 外乱に対する伝達関数(閉ループ) フィードバックの効果(まとめ) 53 i) 目標値に対する伝達関数(開ループ) 54 これは言葉を知らないだけで、概念は恐らく知ってらっしゃるかと思います。 このTはL/(1+L)という形であらわせます。 どうか説明をお願いします。, >サーボ系の制御についてなんですが、制御においてゲイン、交差周波数が表しているのが何なのか分かりません。 (負帰還制御系のこと) とあります。 開ループ制御系: 「G=H/1+GH のとき、GHを開ループ伝達関数という。」といわれても、 と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。 出力を帰還させること無く、期待する出力を予測してして得るように入力を制御する制御系のこと。 これが閉ループゲインです。 R   |        |  | 閉ループ制御系: このページでは、閉ループ伝達関数・開ループ伝達関数・一巡伝達関数の意味と違い、そしてそれぞれの使い方について解説します。, 標準的なフィードバック制御システムですね。観測量$\hat{y}$は、検出器$H(s)$を介して実際に制御器にフィードバックされる信号です。検出器$H(s)$に馴染みがないかもしれませんが、これは例えば出力$y$を取得するセンサや、出力$y$を他の信号に加工する演算部のことを指します。, 例えばセンサの信号取得特性が一次遅れ系で表される場合は、$H(s)=\frac{K}{Ts+1}$とすることでそれを考慮できます。また、出力$y$の微分をフィードバックしたい場合は、$H(s)=s$として微分演算を入れます。出力$y$をそのままフィードバックできる場合は、$H(s)=1$としてこのブロックを無視すればOKです。, 当然ですが、フィードバック制御システムの中には様々な信号が存在します。フィードバック制御システムの特性を解析する際は、それぞれの信号の関係性(つまり伝達関数)が重要な情報となります。中でも特によく使用される伝達関数には、次の通り固有の名前がついています。, 目標値$r$から出力$y$までの伝達関数が、閉ループ伝達関数です。システムを丸々まとめたものですね。閉ループ伝達関数で表されるシステムは、閉ループシステムや閉ループ系と呼ばれます。, $$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$$, フィードバック制御の目的は出力$y$を目標値$r$にあわせることなので、閉ループ伝達関数は制御目的をそのまま表した伝達関数であるといえます。よって用途としては、フィードバック制御性能の分析に用いられます。当然、$G_{閉}(s)=1$となるのが理想ですね($y=r$となるので)。, 利点としては、制御目的を直接反映しているので意味が直感的に分かりやすいことが挙げられます。一方の欠点としては、式が複雑になり取り扱いが面倒であることが挙げられます。, 誤差$e$から出力$y$までの伝達関数が、開ループ伝達関数です。開ループ伝達関数で表されるシステムは、開ループシステムや開ループ系と呼ばれます。, 開ループ伝達関数は、制御対象の特性$G(s)$は分かっているとして、それに制御器$C(s)$がくっついたときに特性がどうなるかを表した伝達関数であるといえます。, 用途としては、例えば「入力信号(誤差信号)の変化に対して出力がどれだけ機敏に反応するか」といった制御器を含めたシステムの基本特性を見る際に用いられます。, 開ループ伝達関数の一番の利点は、式が単純で扱いやすいことです。閉ループ伝達関数と比べると一目瞭然ですね。ちなみに閉ループ伝達関数の中には、開ループ伝達関数がそのまま登場します。, $$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{\osg{\color{green}{C(s)G(s)}}{開ループ伝達関数だ!}}{1+C(s)G(s)H(s)}=\frac{G_{開}(s)}{1+C(s)G(s)H(s)}$$, よって、システム全体(=閉ループシステム)の解析を行う際も、開ループ伝達関数やその解析結果を流用することが可能です。, もう1つの利点として、実際の特性を実験的に確かめやすいことが挙げられます。フィードバック制御システム(=閉ループシステム)は信号が複雑に相互作用するので意図せず不安定になる場合が多く、設計初期段階で実際に動かすのは危険です。一方で開ループシステムはシンプルなので意図せず不安定になることはほとんどなく、設計初期段階でも比較的安全に実験を行えます。これにより、システムの特性や伝達関数の精度を早期から実験的に確かめられます。, また、この考え方は設計中盤でも使われることがあります。例えばフィードバック制御がうまく行かなかった場合に、デバッグの第1歩としてまず開ループシステム単体が変な特性や挙動を示していないかを調べることがあります。, 一方の欠点としては、やはり閉ループ伝達関数と比べると得られる情報量が少ないことが挙げられます。, 出力$y$がそのままフィードバックされるとき、すなわち$H(s)=1$であるときは、一巡伝達関数と開ループ伝達関数は等しくなります。, 一巡伝達関数は、制御器に入力した信号がフィードバックループを一巡して戻ってきたらどうなっているかを表した伝達関数であるといえます。, 用途としては、システム全体(=閉ループシステム)の安定判別に用いられます。例として、一巡伝達関数が$G_{一巡}(s)=-10$であるシステムを考えましょう。これは、制御器に入力した信号が$-10$倍されて戻ってくるシステムですね。これに目標値$r=0$、初期誤差$e=1$を与えた際の、その後の信号の流れを見てみましょう。, このように、システムの設計が悪いとフィードバックループを回るたびに信号が延々と増幅され、最後には発散してしまいます。つまり、システムが不安定となってしまうわけですね。, 逆に言うと、フィードバックループを回るたびに信号が収束するようにシステムを設計できれば、システムを安定化させることができますね。すなわち一巡伝達関数を分析することで、複雑な閉ループ伝達関数を取り扱うことなくシステムの全体の安定判別が可能となるわけです。そのような安定判別法としては、ナイキストの安定判別法が代表的です。, $$閉ループ伝達関数G_{閉}(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+\usg{\color{green}{C(s)G(s)H(s)}}{一巡伝達関数だ!}}=\frac{G_{開}(s)}{1+G_{一巡}(s)}$$, それぞれの用語はもちろん重要ですが、それ以上に「自分が今どの信号の関係性を見ているのか」をしっかりと理解しておくことが重要ですので、システムの分析時は常に意識しておいてくださいね(特に慣れないうちは自分が何を見ているのか混乱しがちです)。. つまり、 この系の安定性を判定するには、図7に示す、ループの利得(a0β)を用います。このa0βを、帰還ループを一巡するので、一巡伝達関数といいます。入力から出力までの利得はオペアンプの裸の利得a0で、このβ倍が入力に戻ります。 2型であれば、定常速度偏差(r(s)=1/s^2)まで0にできます。 感度関数をS、相補感度関数をTとします。 [図6.1-43]を見てください。 ・相補感度関数 r,d,yはそれぞれ、入...続きを読む, 開ループ伝達関数を扱う(問題にする)のは、フィードバックの部分(ご質問のブロック図ではCEの部分)だけです。  それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。, 位相交差角周波数は周波数応答関数の虚部が0になる点で合っていますでしょうか。 ---------------------------------------------------------- 今、現代制御理論を一通り学び終えた後、古典制御理論を復習しているのですが、位相余裕(を考える動機)というものがよくわかりません。 またもっと複雑な制御系の場合だと、どうなるのかすらもわかりません。 また、ノイズをn(フィードバックがかかっているところに入力する)だとすると、y=-Tnなので、この相補感度関数が小さいほど、ノイズの影響を低減することができます。 これに対して インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。 >外乱D(s)から偏差E(s)までの伝達関数がG=-G(s)/1+G(s)C(s)となることを示せ。.... 高周波域でLの傾きを大きく負にする(ロールオフ特性がよくなり、ノイズ低減)→しかし位相が遅れる 1型の制御系であれば、定常位置偏差(目標値r(s)=1/sに対する偏差)を0にできますし、 G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、 ゲイン余裕は「あとどれだけゲインをあげられるか」なので、これは納得です。ゲインを上げて速応性を上げたいのだからどれだけあげられるかは確かに知りたいと思うのは自然なので。 このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679 低周波域でLの大きさを大きくする→このせいでLのゲインが負に傾いてしまう→位相が遅れる すると、S+T=1を満足します(つまり、complementaryという意味で"相補"です)。 例)航空機の国際航路での自動操縦などは設定した高度や速度の計画にそって、そのとおりに機体を制御して飛んでくれる。 です。  (-y)/D(s) = -G(s)/{1 + G(s)C(s)}  // Q.E.D.  まず(a)から(b)へ ①一巡伝達関数G(s)をG(jω)にし、このωを0→∞まで変化させたときのグラフを複素平面上に描く。 ②ωを0→∞まで変化する際に、 ・複素平面上にて(-1,j0)を 左 に見ていれば 安定 ・複素平面上にて(-1,j0)を 通れば 安定限界 前回の図9(a)のオーバシュートの原因を調べるために、まず、オペアンプの特性について復習します。ここでは、最も基本的な、μA741を考えます。μA741は、歴史的には、特別な補償回路を必要としない、初めての汎用オペアンプです。なお、以下の解析は、筆者がメーカのデータシートから推定して作成したモデルによるものであり、実際のデバイスの特性とは若干異なる場合があります。, オペアンプは、演算増幅器(Operational Amplifier)の英語のOpとAmpを組み合わせてOp Ampとなりました。何となく日本語的な省略形ですが、ほぼ英語の発音と同じです。なぜ「演算」かというと、オペアンプにより、加減乗除(脚注2)と微積分の回路が実現できます。演算回路を構成するという意味で、「演算」という名前がついています。微分方程式の式を、これらをそのまま組み合わせると、簡単に解を求めることができます。これを、アナログ・コンピュータといい、1970年代前半まで実用あるいは教育の面で使用されました。複雑な微分方程式の過渡現象は、アナログ・コンピュータの方が容易に解を求めることができる時期もありました。(脚注3), (1)利得が無限大(2)入力インピーダンスが無限大(3)出力インピーダンスがゼロ(4)入力オフセット電圧がゼロ, ですが、実際のオペアンプは理想とはかなりかけ離れています。上記特徴のうち、(2)は、ICプロセスによっても異なりますが、ピコ・アンペア(pA)からマイクロ・アンペア(μA)オーダの入力電流(バイアス電流といいます)を持ちます。オペアンプの回路は、抵抗を組み合わせて用いますが、この抵抗値が、各入力端子に対して非対称な値、しかも大きな抵抗値を用いたりすると、入力のバイアス電流による電圧ドロップの差が生じて、出力電圧に誤差を生じます。, また、この抵抗値を対称に設定しても、バイアス電流が入力端子により差があると、同様に誤差を生じます。上記特徴の(4)のオフセット電圧は、入力の差動対のトランジスタの特性の差で生じるもので、μA741の場合、標準で1mV、最大で7.5mVですが、これより3桁ほど小さい低オフセットの製品もあります。, 図10(a)は、フィードバックをかけない裸の振幅特性です。フィードバックをかけてないので、オープンループまたは開ループともいいます。図10(b)はこれを折れ線表記したものです。特性の傾きの変化する点(ロールオフ・ポイント)が二つあります。一つは非常に低い周波数f1で、この場合は5Hzです。もう一つは、ゼロクロス(利得が0dBになる)点の少し上のf2で、この場合は1.5MHzです。, f1からゼロクロス点付近までは、直線でロールオフします。この傾きは、1次遅れ回路の-6dB/octまたは-20dB/decです。f2以上の周波数では、傾きが倍(2次遅れ)になり、-12dB/octまたは-40dB/decとなります。, このf1とf2との間の直線部分は、利得(dB)と周波数との積が一定の値をとります。例えば、100Hz(1.E+02)では80dB(10^4)、10kHz(1.E+04)では40dB(10^2)で、どちらも積は、10^6、すなわち、1MHzとなります。このことを、利得帯域幅積(GB積、GBWP : Gain Band Width Product)といいます。単位はHzです。, 直流の利得は、この場合、106dB(2×10^5)なので、ほぼ無限大と見なせますが、図10から分かるように、高い周波数では利得は小さくなります。, 図11は、同じく裸の位相特性です。低い周波数f1で-45°、その後、しばらく-90°を保ち、次のf2でさらに-45°、すなわち、-135°になり、-180°に向かいます。すなわち、オペアンプは、数Hzの低い周波数と、ゼロクロス周波数より上の高い周波数の二つのカットオフ周波数を持つ1次遅れ回路の組み合わせ(縦続接続)であることが分かります。この位相特性は、逆正接、-arctan(f/f1)-arctan(f/f2)で表されます。, この系の安定性を判定するには、図7に示す、ループの利得(A0β)を用います。このA0βを、帰還ループを一巡するので、一巡伝達関数といいます。入力から出力までの利得はオペアンプの裸の利得A0で、このβ倍が入力に戻ります。この一巡の利得がA0とβの積A0βです。, 図12は、A0βの振幅特性で、図13は位相特性です。β=1(G=1 図9(a)の場合)とβ=0.5(G=2 図9(b)の場合)について示します。, 図13の位相特性は、βが周波数特性を持たないので、オペアンプ単体の特性(図11)と同じで、βの値による差はありません。β=1の場合、図12から868kHzでA0β=0dB、すなわち一巡利得が1になります。, この振幅のゼロクロスの周波数において、位相は、図13から、-120°です。この位相と-180との差を発振に対する余裕という意味で位相余裕(Phase Margin : PM)といいます。この例ではがPM=60°です。-180°とは、位相が反転するので、負帰還しているつもりが、実は正帰還になることを意味します。, β=0.5の場合の位相余裕は、72°とβ=1の場合より大きい余裕があります。この位相余裕の差が、図9(a)、(b)の時間応答の差となります。この場合には、位相は-180°には達しませんが、-180°に達する場合には、位相が-180°のときの利得が0dB以上になると発振に至ります。この利得が0dBに対して、どの程度小さいかをゲイン余裕(Gain Margin : GM)または利得余裕といいます。, この図12と図13との組み合わせをボード(Bode)線図(またはポーデ線図)といい、帰還系の安定判別の代表的な方法です。, 図14は、閉ループの振幅特性です。数100kHzまでは平坦な特性で、それ以降は最終的には-12dBの2次のロールオフ特性に漸近します。平坦部分の利得は、1/βとなります。例えば、1/β=8ならば20log(8)=18dBです。同図のロールオフ・ポイントより少し上の周波数では、開ループ特性よりも利得は大きくなっています。これは、この領域では、位相の遅れにより、負帰還より正帰還気味になっているためです。1/βが大きい、すなわち利得が大きくなると、ロールオフポイントが低くなります。, 最後に、特徴の(3)の出力インピーダンスについて述べます。通常のオペアンプの裸の出力インピーダンスは、数Ωから数十Ω程度です。これは主に出力トランジスタのサイズに依存します。前に述べたように、負帰還回路は出力インピーダンスが小さくなります。直流の出力インピーダンスをR0とすると、帰還をかけたときの出力インピーダンスは、R0/(1+A0β)となり、閉ループ利得に反比例します。, 図15(a)が直線目盛りで表した周波数に対する出力インピーダンスです。10kHz付近までは数Ω以下ですが、1MHz付近からは、裸の出力インピーダンス程度の値になります。, 図15(b)は、縦軸を対数目盛りにしたものです。直流ではmΩオーダですが、周波数の増加に対して直線的に増加します。, 特に電源回路の場合などでは高い周波数における出力インピーダンスを低くしたいので、多くの場合、出力にキャパシタを接続します。まず、出力に、容量を接続すると時間応答はどうなるでしょうか。容量により波形がなまるような気がします。, ところが、解析した結果は図16の振動波形となります。図16(a)は負荷容量が0.1μFの場合、同(b)は1μFの場合です。(a)と(b)とで時間軸が異なるのでご注意ください。, 図17は、負荷容量があるときの閉ループの振幅特性です。大きなピークを示しますが、このピークを示す周波数と、図16の振動周波数とが一致します。, なぜ、時間応答は波形が振動し、周波数応答は、振幅にピークが生じるのか、この原因と対策を理解することが本稿の目的です。次回は、これらについて詳しく述べます。, 例えば、乗算回路は、初期のデジタル演算では、シフターとアキュミレータを使って複数ステップの演算を必要としました。アナログでは、バイポーラトランジスタの指数特性を用いて、log(x)+log(y)=log(xy)として瞬時に積を求めることができました。この段階では、アナログ演算の方がはるかに高速でした。, 脚注3:微分方程式をデジタル計算機で解く場合には、基本的には差分方程式にして、刻みΔtを設定して解きます。刻みを必要以上に小さく設定すると、誤差が重なって正確な解に至らなかったり、初期の計算機は演算能力が高くなかったために、莫大な計算時間を要することになりました。刻みを粗くすると、精度の問題があるため、刻みの設定には苦労しました。現在でも、回路解析ソフトのスパイス(SPICE)を用いる場合に、刻みの問題は苦労していると思います。一方、アナログ・コンピュータは、時間が連続なので、刻みの問題はありません。ただ、電源電圧によるダイナミック・レンジの問題があるので、振幅の正規化を考える必要がありました。, 基礎の基礎といったレベルから入って、いまさら聞けないようなテーマや初心者向けのテーマ、さらには少し高級なレベルまでを含め、できる限り分かりやすく噛み砕いて述べている連載コラムです。もしかしたら、他にも気になるテーマがあるかも知れませんよ!.

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